De flesta som spelat Yatzy vid köksbordet känner igen känslan: tre kast är slut, tärningarna visar nästan en femma i rad, och protokollet väntar. Men hur stora är egentligen chanserna att lyckas med spelets olika kombinationer? Bakom det som känns som ren tur döljer sig faktiskt ganska exakt matematik, och den kan hjälpa dig att fatta smartare beslut nästa gång tärningarna rullar.
Från kanadensisk segelbåt till svenskt sällskapsspel
Det skandinaviska spelet yatzy härstammar från det snarlika spelet yahtzee, som innan kommersialiseringen kallades för yacht spelet och som uppfanns av ett välbärgat kanadensiskt par som spelade det med vänner på sin båt. År 1956 kontaktade paret spelmakaren Edwin S. Lowe, som tidigare tjänat en förmögenhet på bingospel, och de accepterade att sälja rättigheterna mot att få de första 1 000 tillverkade spelen. Lowe döpte om spelet till Yahtzee, men trots marknadsföringsförsök sålde det inte särskilt bra det första året. Med tiden spred sig konceptet över världen, och i Norden utvecklades den egna varianten yatzy, som skiljer sig något från originalet. I den internationella yahtzee-varianten existerar till exempel varken par eller tvåpar, och en kåk ger alltid 25 poäng oavsett vilka tärningar man fått, medan svenska yatzy räknar ihop faktiska ögon.
Vad säger sannolikhetskalkylen egentligen?
Med fem tärningar och tre möjliga kast per omgång finns det oändligt många kombinationer att räkna på, men grunderna är enklare än man kan tro.
Chansen på ett enda kast
Eftersom fem tärningar med sex möjliga utfall vardera ger totalt 7776 olika utfall när alla kastas samtidigt, blir uträkningen för yatzy relativt okomplicerad. Sannolikheten att slå en specifik siffra är 1/6, och eftersom varje tärning är oberoende blir sannolikheten att slå fem likadana av en viss valör 1/7776, en sannolikhet som är densamma för alla sex valörer. Eftersom det finns sex olika sätt att få en yatzy på, en för varje siffra, blir den totala sannolikheten 6/7776, alltså ungefär 1 på 1296 möjliga utfall. I procent handlar det om ungefär 0,08 procents chans att slå yatzy redan på det första kastet, vilket motsvarar ett lyckat utfall på runt 1296 försök.
Tre kast förändrar bilden
Det som gör yatzy spelbart, och roligt, är att man får spara tärningar och kasta om resten upp till två gånger till. Det gör att den verkliga chansen att landa en yatzy under en hel omgång blir betydligt högre än på ett enda kast. Räknat över alla tre kasten hamnar sannolikheten att få en yatzy på ungefär 4 procent. Det förklarar varför en riktig yatzy fortfarande känns som en sällsynt bedrift, samtidigt som de flesta som spelat regelbundet har upplevt det minst någon gång.
Stegar, kåk och fyrtal
Stegarna är ökända för att kännas svåra att träffa, och matematiken bekräftar den känslan. Det finns 120 olika sätt att slå en stor stege på fem tärningar, vilket ger en sannolikhet på 120 av 7776, alltså ungefär 1 på 64, och samma gäller för liten stege. Det innebär att en stege på ett enda kast faktiskt är avsevärt vanligare än en yatzy, även om det sällan känns så vid spelbordet. Rangordnat efter svårighetsgrad på ett enda kast brukar man säga att yatzy, stege, fyrtal, tretal, tvåpar, kåk och par följer i fallande svårighet.
Vad betyder detta för din strategi?
Med siffrorna på bordet blir det tydligare varför erfarna spelare ofta rekommenderar en viss ordning när protokollet ska fyllas i. Eftersom både stegar och yatzy är statistiskt osannolika att träffa sent i spelet, när tärningarna redan bundits upp av andra behov, brukar det löna sig att sikta på de svåraste kombinationerna tidigt medan man fortfarande har fri lek med alla fem tärningarna. Chansrutan fungerar samtidigt som en försäkring för de kast som inte går att klassificera, och att spara den till ett riktigt uselt kast är sällan fel. Den som vill hålla ordning på poängen och kombinationerna under spelets gång kan med fördel använda ett fullständigt protokoll för yatzy online, där sannolikheterna redan är inbyggda i spelets flöde.
Maxi Yatzy, en helt annan matematisk utmaning
Den som tycker att fem tärningar känns för enkelt kan testa varianten med sex tärningar, ofta kallad Maxi Yatzy. Med sex tärningar istället för fem minskar oddsen ytterligare, och chansen att slå en maxiyatzy på ett enda kast landar på endast ungefär 0,002 procent. Det säger något om hur snabbt sannolikheterna rasar när man lägger till bara en enda tärning till i ekvationen. För den som vill testa sig på den betydligt tuffare varianten finns möjligheten att spela Maxi Yatzy direkt på nätet, komplett med de extra kombinationer som sex tärningar öppnar upp för.
Nästa gång tärningarna landar fel, eller fantastiskt rätt, är det värt att komma ihåg att det inte bara är otur eller tur som styr utfallet. Det är kombinatorik, i sin renaste form, förklädd till ett spel för hela familjen.